Se X tem distribuição normal p-variada com vetor de médias μ e matriz de covariâncias Σ então Z = DX, em que D é uma matriz q xp de posto q ≤ p tem distribuição normal com vetor de médias_____ e matriz de covariâncias _____.

Se D’ é a transposta de D, as lacunas ficam corretamentepreenchidas respectivamente por

Uma amostra aleatória simples de tamanho n será observada para fazermos inferências acerca de uma proporção de “sucessos” populacional p. Não temos informações prévias acerca do valor de p, de modo que teremos de trabalhar no pior caso.

O tamanho da amostra necessário para que possamos garantir, com 95% de confiança, que o valor da proporção de “sucessos” na amostra não diferirá da proporção de “sucessos” populacional por mais de 5% é, no mínimo, aproximadamente igual a

Suponha que uma amostra aleatória X₁, X₂, ..., X₁₀, de tamanho n =10 será obtida de uma distribuição Bernoulli (θ), θ desconhecido.

Pretende-se usar uma densidade a priori Beta com parâmetros α = 2 e β = 2 e que será usada uma função de perda quadrática L(θ, a) = (θ – a)², com 0 < θ < 1 e 0 < a < 1.

Nesse caso, se forem observados 5 “sucessos”, a estimativa de Bayes para θ será igual a

Suponha um modelo de regressão linear p-variado dado por:

Y = Xβ + ε

em que Y é um vetor (n x 1), X é uma matriz (n x p) conhecida, β é um vetor de parâmetros (p x 1) e ε é um vetor de erros tal que E[ ε ] = 0, V[ε ] = Iσ², de modo que os elementos de ε são não correlacionados, I é a matriz identidade.

Nesse caso, se X’ é a matriz transposta da matriz X, a solução das equações normais é dada por

Uma aproximação para os possíveis valores assumidos por uma variável aleatória uniforme no intervalo (0,1) pode ser obtida usando-se o método congruencial multiplicativo (MCM).

Avalie se o MCM apresenta as seguintes características:

I. É um método simples e de uso extensivo.
II. O MCM gera uma sequência de números pseudoaleatórios.
III. O MCM parte de um valor inicial x₀ e calcula recursivamente os valores sucessivos x_n, n ≥ 1.

Está correto o que se afirma em

Considere que no ajuste de uma reta de regressão linear

Y = β₀ + β₁X + ε,

a seguinte tabela de Análise da Variância (com dados parcialmente omitidos) foi obtida:

Fonte	Soma de Quadrados	Graus de liberdade	Média Quadrática
Regressão	4.800
Resíduo			s2
Total	10.190	99

O valor de s² é igual a

A tabela a seguir mostra os dados de temperatura de 10 indivíduos obtidos antes e depois da aplicação de um determinado tratamento. O problema é testar a hipótese de que não há efeito de tratamento na mediana das temperaturas.

Indivíduo	Temperatura (°C)
	Antes	Depois
1	36,0	36,6
2	38,2	37,5
3	37,3	38,1
4	39,0	38,5
5	37,2	37,3
6	39,5	37,6
7	38,0	37,6
8	37,0	36,8
9	38,1	37,2
10	37,9	37,6

Um valor da estatística de teste de Wilcoxon para esses dados é igual a

Se uma densidade pertence à família exponencial, então ela podeser escrita como

f(x) = a(θ)b(x) exp{c(θ)d(x)}, sendo a, b, c e d funções.

Lembremos que se uma amostra aleatória X₁, X₂, ..., X_n é obtida de uma densidade que pertence à família exponencial, então, pelo critério de fatorização, uma estatística suficiente é dada por

Para testar a hipótese nula de independência entre dois atributos A e B a seguinte tabela de contingências 2x2 foi obtida:

		Atributo A
		Presente	Ausente
Atributo B	Presente	120	80
	Ausente	60	140

O valor da estatística qui-quadrado usual para esses dados é aproximadamente igual a

Para testar H₀: p = 0,5 versus H₁: p = 0,8, em que p é o parâmetro de uma densidade Bernoulli (p), uma amostra X₁, X₂, X₃, X₄, de tamanho 4, será obtida e será usado o critério de decisão que rejeitará H0 se X₁ + X₂ + X₃ + X4 ≥ 3.

Nesse caso, a soma das probabilidades de erro tipo I e tipo II desse critério é aproximadamente igual a