A professora de Matemática pediu aos alunos que escrevessem em um papel, um número aleatório. Ao conferir os valores escritos, foi possível construir o gráfico a seguir.

(Legenda: Eixo horizontal: 5, 6, 7, 8, 9, 10 e 11. Eixo vertical: frequência. O número 5 possui frequência 4; o número 6 possui frequência 3; o número 7 possui frequência 2; o número 8 possui frequência 3; o número 9 possui frequência 5; o número 10 possui frequência 3; e o número 11 possui frequência 1.)

A partir dos dados apresentados, é CORRETO afirmar que:

Considere uma amostra x_₁,..., x_n. Sabendo-se que nessa amostra a moda < mediana < média aritmética, então o valor m que minimiza  \(\sum_{i=1}^{n} (x_i - m)^2\)  será

            O modelo de regressão para as duas v.a. quantitativas, X e Y, se escreve como E(Y|x) = α + βx. Para se determinar os parâmetros α e β, são feitas n observações xi e yi e, nesse caso, o modelo pode ser escrito como yi = E(Y|xi) + ei = α + βxi + ei , em que i = 1, 2, ..., n, e em que ei é o erro do modelo frente à i-ésima observação, devendo-se encontrar os valores mais prováveis para α e β, segundo algum critério, a partir das n observações de pares de valores de (X, Y).

        No caso do critério dos mínimos quadrados, segundo o qual os valores das incógnitas α e β são determinados de modo a minimizar a soma dos quadrados dos erros, é necessário, a fim de encontrar os estimadores para os parâmetros do modelo, considerar as seguintes hipóteses para as v.a. envolvidas.

1 A variável X é controlada e não está sujeita a variações aleatórias, ou seja, X é uma variável fixa.

2 Para dado valor x de X, os erros distribuem-se ao redor da média α + βx com média zero, isto é, E(ei |x) = 0.

3 Os erros têm a mesma variabilidade em torno dos níveis de X, ou seja, Var(ei |x) = σe2 , para todo i = 1, ..., n.

4 Os erros são não correlacionados.

        Para verificar se o modelo é adequado aos dados, deve-se investigar se as suposições feitas para o desenvolvimento do modelo estão satisfeitas. Para tanto, deve-se fazer a análise dos resíduos. Uma técnica aplicável é a análise gráfica, que consiste em plotar os pares (xi , êi), em que i = 1, ..., n; e êi é a diferença entre o valor observado yi e o valor previsto pelo modelo. Os gráficos a seguir ilustram situações típicas.

A partir das informações precedentes, julgue o seguinte item.

O gráfico de resíduos (b) apresenta uma situação em que a hipótese 1 é satisfeita.