A sequência de variáveis aleatórias contínuas \( W_1,W_2, \cdots, W_n \) representa uma amostra aleatória simples de tamanho retirada de uma população descrita por uma função de densidade na forma \( f(w) = 504 x w^5 (1 - w)^3 \)., na qual \( 0\,\le\,w\,\le\,1 \).

Considerando as informações precedentes, julgue o item a seguir, com relação às variáveis aleatórias \( \bar{W} = { \large 1 \over n} \sum_{i=1}^n W_i \) e \( V = { \large 1 \over n-1} \sum_{i=1}^n ( W_i - \bar{W})^2 \).

Se n=5 e se a variância populacional for representada como \( \sigma^2 \), a quantidade \( 4 \times { \large V \over \sigma^2} \) segue uma distribuição qui-quadrado com 4 graus de liberdade.

A sequência de variáveis aleatórias contínuas \( W_1,W_2, \cdots, W_n \) representa uma amostra aleatória simples de tamanho retirada de uma população descrita por uma função de densidade na forma \( f(w) = 504 x w^5 (1 - w)^3 \)., na qual \( 0\,\le\,w\,\le\,1 \).

Considerando as informações precedentes, julgue o item a seguir, com relação às variáveis aleatórias \( \bar{W} = { \large 1 \over n} \sum_{i=1}^n W_i \) e \( V = { \large 1 \over n-1} \sum_{i=1}^n ( W_i - \bar{W})^2 \).

A variância de \( \bar{W} \) é inferior a \( { \large 1 \over n} \)

Uma variável aleatória contínua X possui função de distribuição acumulada dada pela expressão a seguir, na qual é num parâmetro tal que \( \alpha \) \( \in \) (0,1).

\( F(x) = { \begin{cases} 1 - a^x,\,\,\,\,\,se\,x\,\ge\,0\\\,\,\,\,\,\,\,0,\,\,\,se\,x\,< 0 \end{cases}} \)

A partir dessas informações, julgue o item a seguir.

A média de \( X \) é \( -{ \large 1 \over In\,a} \).

Uma variável aleatória contínua X possui função de distribuição acumulada dada pela expressão a seguir, na qual é num parâmetro tal que \( \alpha \) \( \in \) (0,1).

\( F(x) = { \begin{cases} 1 - a^x,\,\,\,\,\,se\,x\,\ge\,0\\\,\,\,\,\,\,\,0,\,\,\,se\,x\,< 0 \end{cases}} \)

A partir dessas informações, julgue o item a seguir.

Na transformação \( Y = 1 -a^X \), a variável aleatória Y segue uma distribuição contínua com média 1/2 e variância 1/12.

Uma variável aleatória contínua X possui função de distribuição acumulada dada pela expressão a seguir, na qual é num parâmetro tal que \( \alpha \) \( \in \) (0,1).

\( F(x) = { \begin{cases} 1 - a^x,\,\,\,\,\,se\,x\,\ge\,0\\\,\,\,\,\,\,\,0,\,\,\,se\,x\,< 0 \end{cases}} \)

A partir dessas informações, julgue o item a seguir.

A função de densidade da variável aleatória X é dada pela forma f(x), tal que \( f(x) = xa^{ x-1} \), se \( x\,\le\,\,0 \), e \( f(x) = 0 \), se \( x\,<\,0 \).

Uma variável aleatória contínua X possui função de distribuição acumulada dada pela expressão a seguir, na qual é num parâmetro tal que \( \alpha \) \( \in \) (0,1).

\( F(x) = { \begin{cases} 1 - a^x,\,\,\,\,\,se\,x\,\ge\,0\\\,\,\,\,\,\,\,0,\,\,\,se\,x\,< 0 \end{cases}} \)

A partir dessas informações, julgue o item a seguir.

\( P(X) = 0,5 = 1 - \sqrt{a} \)

Uma variável aleatória contínua X possui função de distribuição acumulada dada pela expressão a seguir, na qual é num parâmetro tal que \( \alpha \) \( \in \) (0,1).

\( F(x) = { \begin{cases} 1 - a^x,\,\,\,\,\,se\,x\,\ge\,0\\\,\,\,\,\,\,\,0,\,\,\,se\,x\,< 0 \end{cases}} \)

A partir dessas informações, julgue o item a seguir.

Se \( a = 0,75 \), então o primeiro quartil de \( X \) é igual a 1.

Procurando entender melhor a dinâmica dos atrasos que ocorrem em seu departamento, o gerente de uma grande loja entrevistou 40 funcionários perguntando: “quanto tempo em média (em minutos) você gasta no trânsito para chegar ao trabalho?”. As respostas dos funcionários estão parcialmente apresentadas na Tabela 1 abaixo:

Tabela 1 – Tempo gasto para chegar ao trabalho (minutos)

Os dados apontam que 95% dos entrevistados gastam menos de 40 minutos para chegar ao trabalho. Considerando essas informações, analise as perguntas abaixo:

\( \bullet \) Qual é a classe mediana?

\( \bullet \) Qual é o tempo médio aproximado (em minutos) gasto pelos entrevistados para chegar ao trabalho?

\( \bullet \) Qual é a porcentagem dos funcionários que gastam, em média, 30 minutos ou mais para chegar ao trabalho?

Assinale a alternativa que contém, correta e respectivamente, as respostas para as perguntas acima.

Segundo uma notícia publicada no site da Fundação Roberto Marinho, o índice de evasão escolar cresceu no ano de 2020. Observe o gráfico abaixo:

Fonte: www.frm.org.br/conteudo/educacao-basica/noticia/abandono-do-ensino-medio-volta-crescer-em-2021

No ano de 2019, o índice de alunos, na faixa etária de 15 a 17 anos, matriculados no Ensino Médio e fora da escola era de 5,5%. Em 2021, esse percentual chegou a 5,8%. Determine a quantidade de alunos, de 15 a 17 anos, que NÃO estavam frequentando a escola no ano de 2021. Despreze casas decimais no resultado.

Com o intuito de determinar se o tempo de estadia em um restaurante (variável explicativa, \( X \)) influencia o total gasto pelos frequentadores (variável resposta, \( Y \)), foi cronometrado o tempo total de permanência (em minutos) de 100 clientes, e registrado o total gasto (em reais) por eles. Os tempos de permanência registrados durante o experimento estão entre 22 e 125 minutos. Uma análise de regressão foi então conduzida. A estimativa do intercepto e do coeficiente angular obtidos foram \( \widehat{B}_0=40 \) e \( \widehat{B}_1=1,5, \) respectivamente, ambos com p-valores menores que 0,001. Além disso, 64% da variabilidade de \( Y \) é explicada pela variação de \( X \) no modelo estimado. Nesse contexto, é correto afirmar que: