Um modelo de regressão linear entre uma variável aleatória (dependente) e uma variável não aleatória X (independente) é definido por \( Y = \beta_0 + \beta_1 X + \varepsilon \), em que \( \varepsilon \), denominado erro aleatório, é uma variável aleatória independente de \( X \) com média \( E( \varepsilon) = 0 \) e desvio padrão \( Var( \varepsilon) = \sigma^2 \). Um modelo de regressão linear é essencialmente um modelo para a probabilidade condicional de Y com relação a X, denotada por P(Y|X); ele é chamado de simples se - for uma variável aleatória gaussiana. Fixando-se n valores \( X_1, X_2, \cdots, X_n \) para a variável independente X, pode-se definir n variáveis aleatórias \( Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \varepsilon_i \), com \( i =1, \cdots, n \). Pelo método dos mínimos quadrados, é possível obter estimadores \( \hat{ \beta_0} \) e \( \hat{ \beta_1} \) para os parâmetros \( \beta_0 \) e \( \beta_1 \) e definir o \( \hat{Y_i} = \hat{ \beta_0} + \hat{ \beta_1} X_i \) como o estimador para \( Y_i \). Nesse contexto, são definidos os erros, denominados resíduos, como \( Y_i - \hat{Y_i} = e_i \), a soma dos quadrados dos resíduos \( SQE = \sum_i e_i^2 \), a soma dos quadrados totais e a soma dos quadrados totais \( SQT = \sum_i ( Y_i - \bar{Y})^2 \) e a soma dos quadrados de regressão \( SQR = \sum_i ( \hat{Y_i} - \bar{Y})^2 \), com \( \bar{Y} = \sum_i Y_i/n \).

Com base nessas informações, julgue o próximo item, considerando uma variável T, com média nula e desvio padrão unitário, definida por uma distribuição t de Student com 30 graus de liberdade, que tenha o seguinte intervalo com probabilidade de 0,95: \( P(−2,042 < 1 < 2,042) = 0,95. \)

Para o modelo de regressão linear, a média e a variância do estimador do parâmetro \( \beta_1 \) , serão respectivamente dados por \( E( \hat{ \beta_1}) = \beta_1 \) e \( Var( \hat{ \beta_1)} = \sigma^2/ \sum_i ( X_i - \bar{X}) \) e ara o modelo de regressão linear simples, \( \hat{ \beta_0} \) e \( \hat{ \beta_1} \) têm distribuições de probabilidades gaussianas.

Julgue o seguinte item, considerando duas variáveis aleatórias R e S , tais que \( E[R] = E[S] = 0,\,\,E[R^2] = 9,\,\,E[S^2] = 4 \) e \( Cov[R,S] = -6 \).

Se R segue uma distribuição t de Student, então seu grau de liberdade é igual a 2,25.

Julgue o próximo item, com base na distribuição de probabilidade condicional \( P(X = x | W = w)= { \large e^{-w} w^x \over x!} \) em que \( x = 0,1,2,3 \cdots, w\,>\,0 \) e W segue uma distribuição exponencial com média igual a 1.

O valor esperado da variável aleatória X é igual a w .

Julgue o próximo item, com base na distribuição de probabilidade condicional \( P(X = x | W = w)= { \large e^{-w} w^x \over x!} \) em que \( x = 0,1,2,3 \cdots, w\,>\,0 \) e W segue uma distribuição exponencial com média igual a 1.

\( P(X = 3) = { \large 1 \over 16} \).

Julgue o próximo item, com base na distribuição de probabilidade condicional \( P(X = x | W = w)= { \large e^{-w} w^x \over x!} \) em que \( x = 0,1,2,3 \cdots, w\,>\,0 \) e W segue uma distribuição exponencial com média igual a 1.

\( E(X | W = w ) = w \).

Ao realizar uma apresentação para os funcionários da empresa sobre o potencial crescimento salarial, o gerente de setor utilizou os 5 maiores salários pagos atualmente, no entanto, forneceu os valores de 4 salários: R$ 20.000,00; R$ 24.000,00; R$ 26.000,00; R$ 30.000,00 e a variância populacional para os 5 salários no valor de 104.000,00.

Qual o valor do salário não mencionado? Considere as informações: 20² = 400; 24² = 576; 26² = 676 e 30² = 900.