Suponha que um pesquisador deseje estimar as duas equações abaixo:

(1) !$ ln(Y)=\beta_0+\beta_1 ln(X)+u !$,

(2) !$ ln \left({\large{Y \over X}} \right)=\alpha_0+\alpha_1 ln(X)+ν !$,

em que !$ u !$ e !$ ν !$ são os termos de erro em cada equação, e !$ X > 0 !$ e !$ Y > 0 !$.

Defina !$ y+ln(Y) !$, !$ x=ln(X) !$ e !$ z=ln\left({\large{Y \over X}} \right) !$. Usando uma mesma amostra aleatória da população de tamanho !$ n !$, o pesquisador estima essas duas equações pelo método de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO), obtendo os seguintes resultados:

(3) !$ \hat{y}=b_0+b_1x !$,

(4) !$ \hat{z}=\alpha_0+\alpha_1x !$.

Com base nessas informações, julgue a afirmativa abaixo:

Item 2 - Para cada observação i da amostra: !$ \hat{y}_1=z_1+x_1 !$.

Suponha que um pesquisador deseje estimar as duas equações abaixo:

(1) !$ ln(Y)=\beta_0+\beta_1 ln(X)+u !$,

(2) !$ ln \left({\large{Y \over X}} \right)=\alpha_0+\alpha_1 ln(X)+ν !$,

em que !$ u !$ e !$ ν !$ são os termos de erro em cada equação, e !$ X > 0 !$ e !$ Y > 0 !$.

Defina !$ y+ln(Y) !$, !$ x=ln(X) !$ e !$ z=ln\left({\large{Y \over X}} \right) !$. Usando uma mesma amostra aleatória da população de tamanho !$ n !$, o pesquisador estima essas duas equações pelo método de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO), obtendo os seguintes resultados:

(3) !$ \hat{y}=b_0+b_1x !$,

(4) !$ \hat{z}=\alpha_0+\alpha_1x !$.

Com base nessas informações, julgue a afirmativa abaixo:

Item 3 - Os resíduos nas equações (3) e (4) são idênticos.

Suponha que um pesquisador deseje estimar as duas equações abaixo:

(1) !$ ln(Y)=\beta_0+\beta_1 ln(X)+u !$,

(2) !$ ln \left({\large{Y \over X}} \right)=\alpha_0+\alpha_1 ln(X)+ν !$,

em que !$ u !$ e !$ ν !$ são os termos de erro em cada equação, e !$ X > 0 !$ e !$ Y > 0 !$.

Defina !$ y+ln(Y) !$, !$ x=ln(X) !$ e !$ z=ln\left({\large{Y \over X}} \right) !$. Usando uma mesma amostra aleatória da população de tamanho !$ n !$, o pesquisador estima essas duas equações pelo método de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO), obtendo os seguintes resultados:

(3) !$ \hat{y}=b_0+b_1x !$,

(4) !$ \hat{z}=\alpha_0+\alpha_1x !$.

Com base nessas informações, julgue a afirmativa abaixo:

Item 4 - O !$ R^2 !$ é o mesmo nas regressões correspondentes as equações (3) e (4).

Considere o seguinte modelo AR(1):

!$ Y_t=\beta_1Y_{t-1}+u_t !$,

em que !$ \left\vert B_1 \right\vert < 1 !$, !$ \{u_t\} !$ é uma sequência independente e identicamente distribuída tal que !$ u_t \sim N(0, σ^2_u) !$ para todo !$ t !$. É certo ou errado a afirmativa sobre esse modelo:

Item 4 - !$ Cov(Y_{t-1}, Y_{t-2})=\beta_1 σ^2_u !$.

Considere o seguinte modelo AR(1):

!$ Y_t=\beta_1Y_{t-1}+u_t !$,

em que !$ \left\vert B_1 \right\vert < 1 !$, !$ \{u_t\} !$ é uma sequência independente e identicamente distribuída tal que !$ u_t \sim N(0, σ^2_u) !$ para todo !$ t !$. É certo ou errado a afirmativa sobre esse modelo:

Item 3 - !$ Y_t !$ tem distribuição normal.

Considere o seguinte modelo AR(1):

!$ Y_t=\beta_1Y_{t-1}+u_t !$,

em que !$ \left\vert B_1 \right\vert < 1 !$, !$ \{u_t\} !$ é uma sequência independente e identicamente distribuída tal que !$ u_t \sim N(0, σ^2_u) !$ para todo !$ t !$. É certo ou errado a afirmativa sobre esse modelo:

Item 2 - !$ V\, ar(Y_t)= σ^2_u !$.

Considere o seguinte modelo AR(1):

!$ Y_t=\beta_1Y_{t-1}+u_t !$,

em que !$ \left\vert B_1 \right\vert < 1 !$, !$ \{u_t\} !$ é uma sequência independente e identicamente distribuída tal que !$ u_t \sim N(0, σ^2_u) !$ para todo !$ t !$. É certo ou errado a afirmativa sobre esse modelo:

Item 1 - !$ E(Y_y)=0 !$.

Considere o seguinte modelo AR(1):

!$ Y_t=\beta_1Y_{t-1}+u_t !$,

em que !$ \left\vert B_1 \right\vert < 1 !$, !$ \{u_t\} !$ é uma sequência independente e identicamente distribuída tal que !$ u_t \sim N(0, σ^2_u) !$ para todo !$ t !$. É certo ou errado a afirmativa sobre esse modelo:

Item 0 - !$ Y_t !$ pode ser representada por: !$ \textstyle \sum_{i=0}^∞ \, \beta^i_1 u_{t-i} !$.

Considere o seguinte Modelo de Equações Simultâneas e os métodos de estimação Mínimos Quadrados Ordinários e Mínimos Quadrados em Dois Estágios:

!$ y_1=a_0+a_1y_2+a_2x_1+a_3x_2+ε !$ (1),

!$ y_2= \beta_0 + \beta_1 y_1+ \beta_2x_1+ \beta_3 x_3+ η !$ (2),

em que !$ ε !$ e !$ η !$ são componentes aleatórios, !$ y_1 !$ e !$ y_2 !$ são as variáveis endógenas e !$ x_1 !$, !$ x_2 !$ e !$ x_3 !$ são as variáveis exógenas do modelo. Julgue a afirmativa a seguir:

Item 4 - Se !$ \beta_2=0 !$, !$ \alpha_1 \ne 0 !$, !$ \beta_1 \ne 0 !$ e !$ \beta_3 \ne 0 !$, a estimação da equação (1) por Mínimos Quadrados em dois estágios irá gerar estimadores viesados e inconsistentes.

Considere o seguinte Modelo de Equações Simultâneas e os métodos de estimação Mínimos Quadrados Ordinários e Mínimos Quadrados em Dois Estágios:

!$ y_1=a_0+a_1y_2+a_2x_1+a_3x_2+ε !$ (1),

!$ y_2= \beta_0 + \beta_1 y_1+ \beta_2x_1+ \beta_3 x_3+ η !$ (2),

em que !$ ε !$ e !$ η !$ são componentes aleatórios, !$ y_1 !$ e !$ y_2 !$ são as variáveis endógenas e !$ x_1 !$, !$ x_2 !$ e !$ x_3 !$ são as variáveis exógenas do modelo. Julgue a afirmativa a seguir:

Item 3 - Se !$ \beta_2 ≠ 0 !$, então a equação (1) será exatamente identificada.