Seja P (x) = x⁵ + ax³ + bx + c um polinômio divisível por (x-1)². Determine o valor de a+b+c.

Simplifique a expressão trigonométrica

\(\dfrac{\cos^4 x - \text{sen}^4 x}{\cos^2 x - \text{sen}^2 x} \cdot \dfrac{\text{sen}(2x)}{2 \cos^2 x}\)

considerando x ∈ \(\mathbb{R}\) tal que a expressão esteja definida.

Considere a circunferência

(x - 3)² + (y +1)² = 25

Determine as equações das retas tangentes a essa circunferência que possuem inclinação de 45° em relação ao sentido positivo do eixo x (isto é, coeficiente angular m = tg 45° = 1).

Considere o Triângulo de Pascal, em que a linha n (com n > 0) contém os coeficientes binomiais \(\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \binom{n}{2}, \dots, \binom{n}{n}.\)

Sabe-se que a soma dos elementos da linha n é 512. Determine o terceiro elemento dessa linha, isto é, o valor de \(\binom{n}{2}\).

Considere o polinômio

P (x) = (kx - 4) ⁿ

^{onde k e n são inteiros positivos. Suponha que a soma de todos os coeficientes do desenvolvimento de P(x) seja igual a 0. Analise as afirmativas:} 

^{I. K é múltiplo de 4.}

^{II. n pode ser qualquer inteiro positivo.}

^{III. O termo independente de P(x) é sempre positivo.}

^{Assinale a alternativa correta.} 

Em um evento, ao final de cada ano são escolhidas duas citações distintas: uma para a abertura e outra para o encerramento, formando um par ordenado (abertura, encerramento). Durante 40 anos, foram utilizados pares ordenados todos diferentes entre si. Qual é o menor número N de citações distintas que garante essa possibilidade?

Em um evento com 8 homens e 12 mulheres, cada par de homens distintos se cumprimenta com um único aperto de mão. Além disso, cada par formado por um homem e uma mulher se cumprimenta com um único aceno mútuo. Entre duas mulheres, não ocorre cumprimento. O total de apertos de mão e de acenos realizados é, respectivamente:

Considere as funções f, g e h definidas abaixo, com seus respectivos domínios e contradomínios.

I. f: \(\mathbb{Z}\) → \(\mathbb{Z}\), tal que:
\( f(n) = \begin{cases} n + 1, & \text{se } n \text{ é par} \\ n - 1, & \text{se } n \text{ é ímpar} \end{cases} \)

II. g: \(\mathbb{R}\) \ {2} → \(\mathbb{R}\)\ {1}, definida pela lei:

\( g(x) = \dfrac{x + 1}{x - 2} \)

III. h: \(\mathbb{R}\) → \(\mathbb{R}\), definida por:
h (x) = sen (x)

Em relação aos domínios e contradomínios indicados, assinale a alternativa correta.

Seja m ∈ \(\mathbb{C}\) considere o sistema linear

\(\begin{cases} x + y = m^2 \\ m^4x + y = 1 \end{cases}\)

Assinale a alternativa que contém uma afirmação  CORRETA sobre a classificação do sistema (possível e determinado / possível e indeterminado / impossível).

No plano cartesiano, considere as retas x — y = 0, x + y =6 e y = 2. O triângulo é formado pelos pontos de interseção dessas três retas. Qual é a área desse triângulo (em unidades de área)?