Considere que as seguintes amostras aleatórias foram obtidas, respectivamente, de duas populações com densidades absolutamente contínuas:

Amostra x: 2,1; 3,1; 4,0; 4,2; 5,0.

Amostra y: 2,6; 2,7; 3,2; 3,8, 4,1; 4,8.

O valor da estatística de teste de Wilcoxon baseada nas observações x's para testar se as duas distribuições populacionais são iguais é igual a

Para testar se um determinado tratamento ajuda a diminuir a pressão sistólica (PS) de indivíduos do sexo masculino, foram feitas duas observações em cada um de quatro homens, uma antes, outra depois do tratamento. Os resultados (em mmHg) foram

Suponha que as pressões sistólicas populacionais sejam normalmente distribuídas. Ao nível de significância de 5%, a hipótese nula H₀ de que não há diferenças nas médias antes e depois do tratamento, ou seja, não há efeito médio de tratamento, contra a hipótese alternativa de que o tratamento causa diminuição na PS média, será

[use !$ \sqrt3=1,7 !$].

O critério de decisão, ao nível de significância de 5%, para testar !$ H_0: \mu_2 !$ versus !$ H_1:\mu_1 ≠ \mu_2 !$ será então

Considere uma amostra aleatória simples X₁, X₂, ..., X_n de uma densidade com parâmetro !$ θ !$ unidimensional e avalie se as seguintes afirmativas acerca de estatísticas suficientes são falsas (F) ou verdadeiras (V).

I. Se a densidade é Bernoulli !$ (θ) !$, então !$ \sum_{i=1}^n X_i !$ é suficiente.

II. Se a densidade é Normal com média !$ θ !$ com variância conhecida, então !$ \sum_{i=1}^n X_i !$ é suficiente.

III. Se a densidade é uniforme no intervalo !$ (0, θ) !$, então !$ \sum_{i=1}^n X_i !$ é suficiente.

As afirmativas são respectivamente

Avalie se as afirmativas a seguir, acerca do Erro Médio Quadrático de um estimador T em relação a um parâmetro !$ θ !$ unidimensional estão corretas.

I. É definido com EMQ_T (!$ θ !$) = E[(T – !$ θ !$)²].

II. Se T é não tendencioso para !$ θ !$, então EMQ_T (!$ θ !$) = Var[T].

III. Quanto menor EMQ_T (!$ θ !$), melhor é o estimador T em relação a !$ θ !$.

Está correto o que se afirma em

Uma amostra aleatória simples de tamanho 16 de uma variável populacional suposta normalmente distribuída com média !$ \mu !$ e variância !$ σ^2 !$, ambas desconhecidas, foi obtida e revelou os seguintes dados:

!$ \bar{x}=50 !$; !$ \sum_{i=1}^{16}(x_i-\bar{x})^2=135 !$

Um intervalo de 95% de confiança para !$ \mu !$ será dado aproximadamente por:

Para testar a hipótese de que uma proporção p de idosos (pessoas com 60 anos ou mais) numa população já é maior do que 30%, o que fará com que medidas públicas importantes sejam implementadas ou melhoradas, uma amostra aleatória simples de 625 pessoas foi obtida e revelou os seguintes dados:

Se usarmos o critério de decisão usual, com base na proporção de idosos na amostra, assinale a opção que apresenta o p –valor aproximado para esses dados e a decisão a ser tomada ao nível de significância de 1%.

Se Z₁, Z₂, ..., Z_n são n variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com densidade normal padrão, então a variável

!$ Y=\sum_{i=1}^n Z^2_i !$

tem distribuição

Avalie as seguintes afirmativas acerca de uma variável aleatória X com distribuição exponencial de probabilidades com parâmetro !$ λ > 0 !$.

I. Se !$ λ > 1 !$, então E[ X ] > Var[ X ].

II. P[ X > a + b | X > a ] = P[ X > b ], a > 0, b > 0.

III. A função de densidade de probabilidade de X é simétrica em torno de sua média.

Está correto o que se afirma em

Sabe-se que, numa certa cidade, a frota de ônibus é numerada de 1 a !$ \circleddash !$, mas não se sabe o valor de !$ \circleddash !$. Para se estimar !$ \circleddash !$, uma amostra aleatória de números dos ônibus foi obtida e mostrou os seguintes dados:

245; 387; 29; 150; 198; 202; 302; 340; 55; 180.

A estimativa de máxima verossimilhança de !$ \circleddash !$ é então igual a