Considere o modelo de regressão linear simples: !$ y=\beta_0+\beta_1x+u !$, onde !$ E(u/x)=0 !$ e !$ Var(u/x)=\sigma^2 !$.

Para uma amostra de 50 observações, tem-se:

!$ \sum\limits^{50}_{i-1} x_i=50 !$, !$ \sum\limits^{50}_{i-1} y_i=300 !$, !$ \sum\limits^{50}_{i-1} x_i y_i=400 !$, !$ \sum\limits^{50}_{i-1} x_i^2=60 !$, e !$ \sum\limits^{50}_{i-1} y_i^2=5200 !$

Defina !$ b_0 !$ como o estimador de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO) para !$ \beta_0 !$ e !$ b_1 !$ como o estimador de Mínimos Quadrados Ordinários para !$ \beta_1 !$. Com base nos resultados acima, é correto afirmar:

Item 2 - Seja !$ Va \hat{r}(b_1/x) !$ um estimador não viesado para !$ Var(b_1/x) !$. Usando as informações da amostra, obtemos !$ Va \hat{r}(b_1/x)=5 !$.

Considere o modelo de regressão linear simples: !$ y=\beta_0+\beta_1x+u !$, onde !$ E(u/x)=0 !$ e !$ Var(u/x)=\sigma^2 !$.

Para uma amostra de 50 observações, tem-se:

!$ \sum\limits^{50}_{i-1} x_i=50 !$, !$ \sum\limits^{50}_{i-1} y_i=300 !$, !$ \sum\limits^{50}_{i-1} x_i y_i=400 !$, !$ \sum\limits^{50}_{i-1} x_i^2=60 !$, e !$ \sum\limits^{50}_{i-1} y_i^2=5200 !$

Defina !$ b_0 !$ como o estimador de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO) para !$ \beta_0 !$ e !$ b_1 !$ como o estimador de Mínimos Quadrados Ordinários para !$ \beta_1 !$. Com base nos resultados acima, é correto afirmar:

Item 1 - !$ b_0=-2 !$

Considere o modelo de regressão linear simples: !$ y=\beta_0+\beta_1x+u !$, onde !$ E(u/x)=0 !$ e !$ Var(u/x)=\sigma^2 !$.

Para uma amostra de 50 observações, tem-se:

!$ \sum\limits^{50}_{i-1} x_i=50 !$, !$ \sum\limits^{50}_{i-1} y_i=300 !$, !$ \sum\limits^{50}_{i-1} x_i y_i=400 !$, !$ \sum\limits^{50}_{i-1} x_i^2=60 !$, e !$ \sum\limits^{50}_{i-1} y_i^2=5200 !$

Defina !$ b_0 !$ como o estimador de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO) para !$ \beta_0 !$ e !$ b_1 !$ como o estimador de Mínimos Quadrados Ordinários para !$ \beta_1 !$. Com base nos resultados acima, é correto afirmar:

Item 0 - !$ b_1=8 !$

Considere o seguinte processo estocástico:

!$ \Delta Y_t=\beta_0+\beta_1 \Delta Y_{t-1}+\varepsilon_t !$

no qual !$ \varepsilon_t !$ é um ruído branco com média zero e variância 1.

Item 4 - Se !$ \Delta Y_t !$ segue um processo fracamente estacionário, então !$ Y_t !$ também segue um processo fracamente estacionário.

Considere o seguinte processo estocástico:

!$ \Delta Y_t=\beta_0+\beta_1 \Delta Y_{t-1}+\varepsilon_t !$

no qual !$ \varepsilon_t !$ é um ruído branco com média zero e variância 1.

Item 3 - Se !$ \Delta Y_t !$ segue um processo fracamente estacionário, sua variância será zero.

Considere o seguinte processo estocástico:

!$ \Delta Y_t=\beta_0+\beta_1 \Delta Y_{t-1}+\varepsilon_t !$

no qual !$ \varepsilon_t !$ é um ruído branco com média zero e variância 1.

Item 2 - Se !$ \Delta Y_t !$ segue um processo fracamente estacionário, sua média será dada por !$ E[\Delta Y_t]=\beta_0 !$

Considere o seguinte processo estocástico:

!$ \Delta Y_t=\beta_0+\beta_1 \Delta Y_{t-1}+\varepsilon_t !$

no qual !$ \varepsilon_t !$ é um ruído branco com média zero e variância 1.

Item 1 - A partir do modelo acima, obtemos a seguinte expressão para o processo !$ Y_t !$,

!$ Y_t=\beta_0+(1+\beta_1)Y_{t-1})Y_{t-1}+\beta_1Y_{t-2}+\varepsilon_t !$.

Considere o seguinte processo estocástico:

!$ \Delta Y_t=\beta_0+\beta_1 \Delta Y_{t-1}+\varepsilon_t !$

no qual !$ \varepsilon_t !$ é um ruído branco com média zero e variância 1.

Item 0 - Neste caso, o processo !$ Y_t !$ segue um modelo autoregressivo de ordem 2.

Considere o seguinte sistema de equações lineares de oferta e demanda de trabalho das mulheres casadas. Neste sistema, as duas variáveis endógenas, salário !$ (P) !$ e quantidade de horas trabalhadas !$ (Q) !$ são determinados pela educação !$ (X_1) !$, idade !$ (X_2) !$, número de filhos !$ (X_3) !$ e dois termos não-observáveis !$ (ε_{1i}, ε_{2i}) !$.

Demanda: !$ Q_i=\alpha_1P_i+\alpha_2X_{2i}+\alpha_3X_{3i}+ε_{1i} !$

Oferta: !$ P_i=\alpha_4 Q_i+\alpha_5 X_{1i}+\alpha_6 X_{2i}+ ε_{2i} !$

Temos uma amostra aleatória de N mulheres, !$ (Q_i,P_i,X_{1i},X_{2i},X_{3i}) !$, !$ i=1, \cdots, N !$. Vamos assumir que a matriz !$ X=[X_1,X_2,X_3] !$ tem posto completo. Julgue o seguinte item:

Item 4 - Usando os estimadores de mínimos quadrados ordinários para o sistema de equações do item (3), podemos obter !$ \hat{\alpha}_5 !$ em função somente de !$ \hat{\phi}_1 !$, !$ \hat{\phi}_2 !$, !$ \hat{\phi}_3 !$, !$ \hat{\phi}_4 !$, !$ \hat{\phi}_5 !$ e !$ \hat{\phi}_6 !$.

Considere o seguinte sistema de equações lineares de oferta e demanda de trabalho das mulheres casadas. Neste sistema, as duas variáveis endógenas, salário !$ (P) !$ e quantidade de horas trabalhadas !$ (Q) !$ são determinados pela educação !$ (X_1) !$, idade !$ (X_2) !$, número de filhos !$ (X_3) !$ e dois termos não-observáveis !$ (ε_{1i}, ε_{2i}) !$.

Demanda: !$ Q_i=\alpha_1P_i+\alpha_2X_{2i}+\alpha_3X_{3i}+ε_{1i} !$

Oferta: !$ P_i=\alpha_4 Q_i+\alpha_5 X_{1i}+\alpha_6 X_{2i}+ ε_{2i} !$

Temos uma amostra aleatória de N mulheres, !$ (Q_i,P_i,X_{1i},X_{2i},X_{3i}) !$, !$ i=1, \cdots, N !$. Vamos assumir que a matriz !$ X=[X_1,X_2,X_3] !$ tem posto completo. Julgue o seguinte item:

Item 3 - Assumindo que !$ E[\varepsilon_{1i} \mid X_{1i}, X_{2i}, X_{3i}]=0 !$ e !$ E[\varepsilon_{2i} \mid X_{1i}, X_{2i}, X_{3i}]=0 !$, estimamos o sistema abaixo por mínimos quadrados ordinários aplicados equação por equação, isto é, estimamos separadamente a equação de oferta e a equação de demanda por mínimos quadrados.

!$ P_i=\phi_1 X_{1i}+\phi_2 X_{2i}+\phi_3 X_{3i}+\vartheta_{2i} !$

!$ Q_i=\phi_4 X_{1i}+\phi_5 X_{2i}+\phi_6 X_{3i}+\vartheta_{1i} !$

onde !$ \phi_1={\large{\alpha_5 \over 1- \alpha_4 \alpha_1}} !$, !$ \phi_2={\large{\alpha_2 \alpha_4+\alpha_6 \over 1- \alpha_4 \alpha_1}} !$, !$ \phi_3={\large{\alpha_3 \alpha_4 \over 1-\alpha_4 \alpha_1}} !$, !$ \phi_4={\large{\alpha_1 \alpha_5 \over 1- \alpha_4 \alpha_1}} !$, !$ \phi_5={\large{\alpha_1 \alpha_6+ \alpha_2 \over 1- \alpha_4 \alpha_1}} !$, !$ \phi_6={\large{\alpha_3 \over 1- \alpha_4 \alpha_1}} !$, !$ \vartheta_{2i}=\alpha_4 \varepsilon_{1i}+\varepsilon_{2i} !$ e !$ \vartheta_{1i}= \varepsilon_{1i}+\alpha_1 \varepsilon_{2i} !$.

O estimador de mínimos quadrados para !$ \phi_5 !$ será não-viesado.