Durante uma aula sobre curvas cônicas, um professor apresentou a seguinte equação matricial:

\( X \cdot A \cdot X^T = 144, \text{ com } X = \begin{bmatrix} x & y \end{bmatrix} \text{ e } A = \begin{bmatrix} 16 & 0 \\ 0 & 9 \end{bmatrix} \)

Ao resolvê-la, um estudante afirmou: “Essa equação representa uma circunferência de raio 12, pois o resultado final é 144, que é 12²”. Diante dessa situação, qual das seguintes intervenções do professor é mais adequada do ponto de vista pedagógico?

Em um jogo, 8 fichas numeradas de 1 a 8 são colocadas em uma urna. Um jogador retira, sem reposição, 3 fichas ao acaso. O jogador vence se o produto dos números sorteados for par. Qual é a probabilidade de que esse jogador vença?

Durante uma aula no 3º ano do Ensino Médio, um professor propõe a análise da seguinte equação:

\( x \)³ − 6\( x \)² + 11\( x \) − 6 = 0

Um estudante, ao observar os coeficientes, utiliza corretamente as Relações de Girard e afirma que a soma das raízes é 6 e o produto também é 6. Em seguida, outro estudante questiona: “É possível determinar se as raízes são reais ou complexas sem resolver a equação explicitamente?”. O professor decide explorar essa dúvida como oportunidade para aprofundar a compreensão dos estudantes sobre as propriedades dos polinômios. Considerando os aspectos matemáticos envolvidos e o potencial pedagógico da situação, analise as assertivas a seguir:

I. Se um polinômio de grau \( n \) com coeficientes reais possui uma raiz complexa \( z \) = \( a \) + \( b \)\( i \) ( \( b \) ≠ 0), então seu conjugado \( \overline{z} \)= \( a \) − \( b \)\( i \) também é obrigatoriamente raiz do polinômio.

II. Para a equação \( x \)³ − 6\( x \)² + 11\( x \) − 6 = 0, as Relações de Girard permitem concluir que, se as raízes estiverem em progressão aritmética, a raiz central será necessariamente igual a 2.

III. O Teorema Fundamental da Álgebra garante que um polinômio de grau \( n \) ≥ 1 possui exatamente \( n \) raízes reais, contando multiplicidades.

IV. De acordo com o Teorema das Raízes Racionais, se o polinômio \( P \)(\( x \)) \( x \)³ - 6\( x \)² + 11\( x \) − 6 possuir raízes racionais, elas pertencerão obrigatoriamente ao conjunto {−6, −3, −2, −1, 1, 2, 3, 6}.

Quais estão corretas?

Considere a função real f(x) = x² e assinale a alternativa que representa a função g(x) cujo gráfico é obtido a partir do gráfico de f(x) pelas seguintes transformações, nesta ordem:

1. Translação horizontal de 3 unidades para a direita.

2. Reflexão em torno do eixo X.

3. Translação vertical de 2 unidades para cima.

Considere uma progressão aritmética de três termos (\( x \), \( y \), \( z \)), com \( x \) < \( y \) < \( z \), cuja soma é 24. Sabe-se que os termos (\( x \) − 1), \( y \) e (\( z \) + 5) formam uma progressão geométrica. Nessas condições, qual é o valor do produto \( x \) ⋅ \( y \) ⋅ \( z \)?

Um professor do Ensino Técnico, ao abordar o estudo de Circuitos de Corrente Alternada (CCA), propõe aos estudantes a utilização de um software de simulação para analisar o comportamento de grandezas elétricas. Observando a complexidade da representação temporal de fenômenos como defasagem entre tensão e corrente utilizando apenas funções trigonométricas reais, o professor introduz os números complexos como uma ferramenta matemática que simplifica a análise e permite uma representação mais concisa e eficiente do comportamento fasorial. Ele incentiva os estudantes a explorar as representações algébrica, geométrica e computacional dos números complexos no contexto dos CCA. À luz de abordagens investigativas, da modelagem matemática e do uso de tecnologias digitais no ensino, analise as assertivas abaixo:

I. A proposta favorece uma perspectiva investigativa ao estimular a exploração de fenômenos, a formulação de conjecturas sobre o comportamento das grandezas elétricas e a análise de múltiplas representações mediadas por ferramentas computacionais.

II. O software de simulação, nesse cenário, atua como um ambiente de aprendizagem que permite a experimentação e a visualização dinâmica de conceitos abstratos, transcendendo a mera função de ferramenta para cálculo ou verificação de resultados.

III. A introdução dos números complexos como uma ferramenta que otimiza a representação e a análise de fenômenos elétricos exemplifica uma abordagem de modelagem matemática, em que a escolha da ferramenta matemática é motivada pela busca da clareza na interpretação do fenômeno real.

IV. A articulação entre a simulação computacional e as diferentes representações dos números complexos pode potencializar a construção de significados matemáticos pelos estudantes, desde que o professor promova a reflexão crítica sobre as conexões entre as representações e o fenômeno físico.

Quais estão corretas?

Em disciplinas de Matemática, principalmente para cursos técnicos, a contextualização do ensino de números complexos é frequentemente defendida como estratégia para promover significado aos conceitos. Um exemplo clássico é sua aplicação na Engenharia Elétrica, especialmente na análise de circuitos de corrente alternada. Nesse contexto, a Lei de Ohm é generalizada para

\( U \) = \( Z \)\( C \)

onde \( U \), \( Z \) e \( C \) são grandezas complexas e \( i \) representa a unidade imaginária. Sendo assim, considere um circuito em que a tensão eficaz é dada por

\( U \) = 120(\( c \)\( o \)\( s \) 0 + \( i \) \( s \)\( e \)\( n \) 0) V

e a impedância da carga é

\( Z \) = (10 + 10\( \sqrt{3}i \))\( \Omega \)

Sabendo que a corrente é obtida por \( C \) = \( U \)/\( Z \), assinale a alternativa que apresenta corretamente a corrente elétrica na forma algébrica.

O Jogo Shisima, de origem queniana, utiliza um tabuleiro em formato de octógono regular com uma casa central. Dois jogadores, cada um com três peças, buscam alinhar suas peças em uma linha reta que passe obrigatoriamente pelo centro (shisima).

Considerando as propriedades geométricas e de simetria desse tabuleiro, um professor de Geometria propõe uma atividade de investigação. Ele solicita que os alunos identifiquem quantos eixos de simetria reflexiva o tabuleiro possui e qual é o ângulo de rotação mínima que mantém a figura do tabuleiro invariante (coincidente consigo mesma). Quais são, respectivamente, esses valores?

Um reservatório de água possui formato de um prisma reto de base quadrada. Suas dimensões internas são 2 metros de lado da base e 5 metros de altura, e ele está inicialmente cheio de água. Uma bomba é ligada para esvaziá-lo a uma vazão constante de 0,5 m³/min. No entanto, após 20 minutos de funcionamento, a bomba apresenta um defeito e sua vazão é reduzida para 0,2 m³/min. Considerando que a bomba continua funcionando com a nova vazão, qual será o tempo total, em minutos, necessário para esvaziar completamente o reservatório?

Sejam \( a \), \( b \), \( c \) números reais positivos tais que:

\( \dfrac{a + b}{c} = \dfrac{b + c}{a} = \dfrac{c + a}{b} = k \)

Um professor propõe esse problema a seus alunos e precisa decidir como conduzir a resolução em sala de aula de modo a favorecer a compreensão conceitual. Entre os possíveis tipos de abordagem, qual é a mais adequada?