O critério de fatorização para uma estatística suficiente diz que se X₁,..., X_n é uma amostra aleatória de tamanho n de uma densidade f de parâmetro θ, então uma estatística S = s(X₁,..., X_n) é suficiente se, e apenas se, a densidade conjunta Пf(x_i; θ) fatora como f(x₁,...,x_n; θ) = g(s; θ)h(x₁,...,x_n) em que

Avalie as seguintes afirmativas, a respeito de estimadores de máxima verossimilhança (e.m.v.), e assinale (V) para a verdadeira e (F) para a falsa.
( ) O e.m.v. de um parâmetro θ é não tendencioso para θ.
( ) A variância de um e.m.v. de um parâmetro θ é mínima na classe dos estimadores não tendenciosos de θ.
( ) Todo estimador de máxima verossimilhança de uma parâmetro θ unidimensional é uma estatística suficiente.
As afirmativas são, respectivamente,

Considere n variáveis aleatórias independentes X₁, X₂, ... X_n, cada um com distribuição Poisson(l_l), i = 1, 2..., n.

A distribuição de probabilidades da variável  

X e Y são variáveis aleatórias discretas com função de probabilidade conjunta dada por

Assim, por exemplo, P[X = 0, Y = 0] = 0,2 e P[ X = 1, Y = 0] = 0,2.

O coeficiente de correlação entre X e Y vale

Se X e Y têm função de densidade de probabilidade conjunta dada por

f(x, y) = (x + y), se 0 < x < 1, 0 < y < 1, e f(x, y) = 0

nos demais casos, então E[XY] é igual a

Uma variável aleatória X tem média desconhecida μ e variância igual a 25.
Se uma amostra aleatória simples de tamanho n = 225 for obtida, a probabilidade de que o valor da média amostral não se afaste do de μ por mais do que 0,5 é aproximadamente igual a

Uma variável aleatória X tem função de densidade de probabilidade dada por
f(x) = |1 – x|, 0 < x < 2, f(x) = 0, nos demais casos.
O valor esperado de X é igual a

Se a função geradora de momentos de uma variável aleatória X é dada por

m_X(t) = λ/(λ - t), para t < λ

então a média de X é igual a

Em relação à mediana m de uma variável aleatória X, avalie as afirmativas a seguir.
I. A mediana m de uma variável aleatória X é o quantil 0,5. II. A mediana m de uma variável aleatória X é qualquer número que satisfaz P[X ≤ m] ≤ ½ e P[X ≥ m] ≥ ½.
 



Está correto o que se afirma em

Se X é uma variável aleatória e g(.) é uma função não negativa com domínio real, então, para todo k > 0,